【OI学习笔记】二分算法

二分算法

• 二分的本质并不是单调性，如果有单调性一定可以二分，可以二分但不一定有单调性。

• 二分的本质：边界。

整数二分

整数二分算法模板：

• 二分模板一共有两个，分别适用于不同情况。

• 算法思路：假设目标值在闭区间[l, r]中， 每次将区间长度缩小一半，当l = r时，我们就找到了目标值。

版本1

• 当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;计算mid时不需要加1。

int bsearch_1(int l, int r)
{
	while (l < r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(mid))
			r = mid;
		else
			l = mid + 1;
	}
	return l;
}

版本2

• 当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。

int bsearch_2(int l, int r)
{
	while (l < r)
	{
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if (check(mid))
			l = mid;
		else
			r = mid - 1;
	}
	return l;
}

整数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 789. 数的范围

bool check(int x)
{ 
	/* ... */
} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
	while (l < r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(mid))
			r = mid; // check()判断mid是否满足性质
		else
			l = mid + 1;
	}
	return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
	while (l < r)
	{
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if (check(mid))
			l = mid;
		else
			r = mid - 1;
	}
	return l;
}